题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若PA=PD=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)先证明平面
即可;(2)建立空间直角坐标系,分别求出平面
、平面
的法向量,再由向量的夹角公式计算即可.
证明:(1)因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD.
又因为AB面PCD,CD面PCD,所以AB∥面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.
解:(2)取AD中点G,连接PG,GB.
因为PA=PD,所以PG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PG⊥平面ABCD.所以PG⊥GB.
在菱形ABCD中,因为AB=AD,∠DAB=60°,G是AD中点,
所以AD⊥GB.
如图,以G为原点,GA为x轴,GB为y轴,GP为z轴,建立空间直角坐标系G﹣xyz.
设PA=PD=AD=2a,
则G(0,0,0),A(a,0,0),.
又因为AB∥EF,点E是棱PC中点,所以点F是棱PD中点.
所以,
.
所以,
.
设平面AFE的法向量为n=(x,y,z),则有所以
令x=3,则平面AFE的一个法向量为.
因为BG⊥平面PAD,所以是平面PAF的一个法向量.
因为,
所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为.
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