Question

椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，对于椭圆有如下命题：已知A、F、B分别是优美椭圆+=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比的椭圆）的左顶点、右焦点和上顶点，则AB⊥BF．那么对于双曲线则有如下命题：已知A、F、B分别是优美双曲线-=1（a＞b＞0）（离心率为黄金分割比的倒数的双曲线）的左顶点、右焦点和其虚轴的上端点，则有（ ）
A．AB⊥BF
B．AF⊥BF
C．AB⊥AF
D．AB∥BF

Answer 1

【答案】分析：根据图象可知AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，进而根据=求得AF²=c²，进而表示出AB²+BF²，最后可得AF²=AB²+BF²，根据勾股定理判断出AB⊥BF．
解答：解：如图，AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，
∵=，
∴=，
∴AF²=（c+c）²=c²=c²，
而AB²+BF²=c²+2c²-a²=3c²-（c）²=3c²-c²=c²，
∴AF²=AB²+BF²，故AB⊥BF．
故选A
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要利用好双曲线标准方程中的a，b和c的关系．