Question

已知函数f（x）=a^x的图象过点（1，

1

2

），且点（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函数f（x）=a^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n+1-

1

2

a_n，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜5．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=a^x的图象过点（1，

1

2

），知a=

1

2

，f（x）=（

1

2

）^x．由点（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函数f（x）=a^x的图象上，能求出a_n．
（2）由a_n=n2•(

1

2

)n-1，b_n=a_n+1-

1

2

a_n，知b_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，从而得到S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，由此利用错位相减法能够证明S_n＜5．

解答：（本题12分）
解：（1）∵函数f（x）=a^x的图象过点（1，

1

2

），
∴a=

1

2

，f（x）=（

1

2

）^x．
又点（n-1，

an

n2

）（n∈N^*）在函数f（x）=a^x的图象上，
从而（

1

2

）^n-1=

an

n2

，
即a_n=n2•(

1

2

)n-1．（4分）
（2）证明：由a_n=n2•(

1

2

)n-1，b_n=a_n+1-

1

2

a_n，得b_n=（2n+1）•（

1

2

）ⁿ，（6分）
S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，
则

1

2

S_n=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

S_n=

3

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n+1

2n+1

，（7分）
∴

1

2

sn=

3

2

+2

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

，（8分）
∴S_n=5-

2n+5

2n

，（10分）
∵

2n+5

2n

＞0，∴S_n＜5．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．