题目内容

(2009•临沂一模)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(
x+1
x+4
)
的所有x之和为(  )
分析:f(x)为偶函数推出f(-x)=f(x),x>0时f(x)是单调函数,推出f(x)不是周期函数.所以若f(a)=f(b)⇒a=b或a=-b,再利用根与系数的关系进行求解;
解答:解:∵f(x)为偶函数,
∴(2x)=f(-2x)
∵当x>0时f(x)是单调函数,
又满足f(2x)=f(
x+1
x+4
)

∴2x=
x+1
x+4
或-2x=
x+1
x+4

可得,2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,两个方程都有解.
∴x1+x2=-
7
2
或x3+x4=-
9
2

∴x1+x2+x3+x4=-
7
2
-
9
2
=-8

故选C.
点评:本题主要函数奇偶性和单调性的性质,考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系,属于函数性质的综合应用.
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