题目内容

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过M（3，0）的直线l交轨迹E于A、B两点，求以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程；
（Ⅲ）（理）设C（a，0），若四边形CAGB为菱形（A、B意义同（Ⅱ）），求a的取值范围．

解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为 $\text{[math]}$ ，则|F₁F₂|= $\text{[math]}$
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|= $\text{[math]}$
∴P点的轨迹E是以F₁、F₂为焦点，长轴为4的椭圆
由 $\text{[math]}$ ；
∴所求轨迹方程为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3）
由 $\text{[math]}$ 得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△＞0，即k²＜ $\text{[math]}$ 时，x₁+x₂= $\text{[math]}$ x₁x₂= $\text{[math]}$
又设动点P（x，y），则 $\text{[math]}$
消去参数k，得P点轨迹方程为x²+4y²-6x=0
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，线段AB中点D坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），即D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
过点D垂直于AB的直线方程为y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
令y=0，得 x= $\text{[math]}$
依题意，当CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，四边形CAGB为菱形，
∴a= $\text{[math]}$ （k²＜ $\text{[math]}$ ）
∴a的取值范围为（0，1）
分析：（I）因为动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．=，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F₁、F₂为焦点，长轴为4，再利用椭圆方程的求法求出．
（Ⅱ）用消参法来求即可，可先设过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3），于椭圆方程联立，得到含A，B点坐标的方程，再根据P是以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点，则点P坐标（x，y）满足x=x₁+x₁，y=y1+y₂，消去参数，即可求出点P的轨迹方程．
（Ⅲ）要想满足四边形CAGB为菱形，只需|CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，由（Ⅱ）得，x₁+x₁，y1+y₂用参数k表示，则线段线段AB中点D坐标可用k表示，再带参数求直线AB的垂直平分线方程，垂直平分线于x轴的交点为C点，用k表示，再求范围即可．
点评：本题考查了椭圆定义，消参法求轨迹方程一击直线与椭圆位置关系的应用，计算量较大，做题时应用心．