Question

（2013•浙江模拟）已知双曲线x²-

y2

2

=1，点A（-1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过点（　　）

A．（3，0）

B．（1，0）

C．（-3，0）

D．（4，0）

Answer 1

分析：可设PQ的方程为x=my+b，与双曲线方程x²-

y2

2

=1联立，结合A（-1，0），AP⊥AQ可求得b的值，从而可知直线PQ过的定点，于是可得答案．

解答：解：设PQ的方程为x=my+b，则由

x2- y2 2 =1 x=my+b

得：（m²-

1

2

）y²+2bmy+b²-1=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁，y₂是该方程的两根，
∴y₁+y₂=

2bm

1 2 -m2

，y₁•y₂=

b2-1

m2- 1 2

．
又A（-1，0），AP⊥AQ，
∴

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，
∴y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，又x₁=my₁+b，x₂=my₂+m，
∴（1+m²）y₁y₂+（b+1）m（y₁+y₂）+（b+1）²=0①，将y₁+y₂=

2bm

1 2 -m2

，y₁•y₂=

b2-1

m2- 1 2

代入①得：

b2-1

m2- 1 2

（1+m²）-

2bm2(b+1)

m2- 1 2

+（b+1）²=0，
整理得：（b²-1）（1+m²）-2bm²（b+1）+（m²-

1

2

）（b+1）²=0，
∴b²-2b-3=0，
∴b=3或b=-1．
当b=-1时，PQ过（-1，0），即A点，与题意不符，故舍去．
当b=3时，PQ过定点（3，0）．
故选A．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的相交问题，突出考查韦达定理的应用，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．