Question

13．已知a∈R．函数f（x）=-x³+3x+a．
（1）求函数f（x）的数值，并作出其草图．
（2）当a为何值时，f（x）=0解有两个实根．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），从而判断函数的单调性及极值，从而作草图；
（2）结合图象可得当f（-1）=a-2=0或f（1）=2+a=0时f（x）=0解有两个实根．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x+a，
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），
∴f（x）在（-∞，-1]上是减函数，
在（-1，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数；
且f（-1）=1-3+a=a-2，f（1）=-1+3+a=2+a；
故作函数f（x）=-x³+3x+a的草图如下，
，
（2）结合图象可知，
当f（-1）=a-2=0或f（1）=2+a=0，
即a=2或a=-2时，函数f（x）=-x³+3x+a有两个零点，
即f（x）=0解有两个实根．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．