Question

已知函数f（x）=2x³+（m-x）³（m∈N^*）．
（1）若x₁，x₂∈（0，m），证明：f(x1)+f(x2)≥2f(

x1+x2

2

)；
（2）对于任意的a，b，c∈[

m

2

，

2

3

m]，问以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段是否可构成三角形？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先分别确定左、右函数值，再利用作差法，即可证得结论；
（2）先证明f（x）在[

m

2

，

2

3

m]上是增函数，再利用两边之和大于第三边，即可确定结论．

解答：（1）证明：由题知f(x1)+f(x2)=2(

x

3 1

+

x

3 2

)+(m-x1)3+(m-x2)3，2f(

x1+x2

2

)=2×2(

x1+x2

2

)3+2(m-

x1+x2

2

)3．
而

x

3 1

+

x

3 2

-2(

x1+x2

2

)3=

3

4

(x1+x2)(x1-x2)2．（2分）
又∵x₁，x₂∈（0，m），∴

3

4

(x1+x2)(x1-x2)2≥0，
∴2

x

3 1

+2

x

3 2

≥2•2(

x1+x2

2

)3，（3分）
同理(m-x1)3+(m-x2)3≥2(

m-x1+m-x2

2

)3=2(m-

x1+x2

2

)3，（5分）
故得f(x1)+f(x2)≥2f(

x1+x2

2

)．（6分）
（2）解：以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段可以构成三角形．
事实上，因为f（x）=2x³+（m-x）³，所以f'（x）=6x²-3（m-x）²=3x²+6mx-3m²．（7分）
∵当x∈[

m

2

，

2

3

m]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在[

m

2

，

2

3

m]上是增函数，
∴在x=

m

2

处取得最小值

3

8

m3，在x=

2m

3

处取最大值

17

27

m3．（9分）
不妨设a≤b≤c，则

3

8

m3≤f(a)≤f(b)≤f(c)≤

17

27

m3（11分）
而f(a)+f(b)≥

3

8

m3•2=

3

4

m3＞

17

27

m3≥f(c)，
因此以f（a），f（b），f（c）的值为边长的三条线段可以构成三角形．（13分）

点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．