题目内容
6．正四面体A-BCD，M是棱AB的中点，则CM与面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．分析 在正四面体ABCD中，过A作AO⊥平面BCD于点O，则O为底面正三角形BCD的外心，连接BO，过M作MF∥AO，交OD于F，则∠MCF=α，就是CM与平面BCD所成角，解直角三角形CMF即可．
解答 
解：设正四面体ABCD的边长为a，高为AO
则O为底面正三角形BCD的外心，过M作MF∥AO，交OD于F，
则MF⊥平面BCD，
则设∠MCF=α，即为CM与平面BCD所成角，
在Rt△ABO中，则BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，MF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
点评 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．
练习册系列答案
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6．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为（ ）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
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