题目内容

在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P为△ABC所在平面一动点，则 $数学公式$ 的最小值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：设P的坐标为（x，y），向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标关于x、y的坐标形式，从而算出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于x、y的表达式，进而得到 $\text{[math]}$ =3x²+3y²-10x-2y-12，再用配方法结合二次函数求最值的方法，即可算出所求的最小值．
解答：设P（x，y），可得
$\text{[math]}$ =（1-x，4-y）， $\text{[math]}$ =（4-x，1-y）， $\text{[math]}$ =（-x，-4-y）
∴ $\text{[math]}$ =（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x²+y²-5x-5y+8
$\text{[math]}$ =（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x²+y²-4x+3y-4
$\text{[math]}$ =（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x²+y²-x-16
因此， $\text{[math]}$ =3x²+3y²-10x-2y-12
∵3x²+3y²-10x-2y-12=3（x- $\text{[math]}$ ）²+3（y- $\text{[math]}$ ）² $\text{[math]}$
∴当x= $\text{[math]}$ 且y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$
故选：C
点评：本题给出△ABC三个顶点的坐标，求平面ABC内的向量数量积之和的最小值，着重考查了平面向量数量积的计算公式和二次函数求最值等知识，属于中档题．