Question

求过抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上一点P（x，y）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质．

Answer 1

【答案】分析：为求斜率，先求导函数，得到切线方程，根据抛物线焦点：F（，），它关于切线的对称点之横坐标为x，
说明从焦点发出的光线射到（x，y）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点．
解答：解：显然，y=ax²+bx+c
y′=2ax+b故在P点处切线斜率为2ax+b，
切线方程y-（ax²+bx+c）=（2ax+b）（x-x），
亦即y=（2ax+b）x-ax²+c．
由于y=ax²+bx+c按向量=平移即得到y=ax²，
只须证明过其上一点（x，ax²）的切线l：y=2axx-ax²
满足：焦点关于l的对称点为（m，n）．
当x≠0时，消去n．知m=x．
当x=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，
故从焦点发出的光线射到（x，ax²）后被抛物面反射后的方程为x=x（与对称轴平行）；
反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程，考查转化思想，属于基础题．