Question

求过抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上一点P（x₀，y₀）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质．

Answer 1

分析：为求斜率，先求导函数，得到切线方程，根据抛物线焦点：F（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），它关于切线的对称点之横坐标为x₀，
说明从焦点发出的光线射到（x₀，y₀）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点．

解答：解：显然，y₀=ax₀²+bx₀+c
y′=2ax+b故在P点处切线斜率为2ax₀+b，
切线方程y-（ax₀²+bx₀+c）=（2ax₀+b）（x-x₀），
亦即y=（2ax₀+b）x-ax₀²+c．
由于y=ax²+bx+c按向量=(

b

2a

，-

4ac-b2

4a

)平移即得到y=ax²，
只须证明过其上一点（x₀，ax₀²）的切线l：y=2ax₀x-ax₀²
满足：焦点关于l的对称点为（m，n）．
当x₀≠0时

n- 1 4a m =- 1 2ax0 n+ 1 4a 2 =2ax0• m 2 -a x 2 0

，消去n．知m=x₀．
当x₀=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，
故从焦点发出的光线射到（x₀，ax₀²）后被抛物面反射后的方程为x=x₀（与对称轴平行）；
反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程，考查转化思想，属于基础题．