题目内容

已知直线l：y=3x+2过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点．
（1）求抛物线方程；
（2）设抛物线的一条切线l₁，若l₁∥l，求切点坐标．

解：（1）抛物线y=ax²（a＞0）的焦点为（0， $\text{[math]}$ ），-----------------3分
代入直线y=3x+2，得a= $\text{[math]}$
（或用焦点坐标为（0，2）来解）抛物线方程x²=8y---------------------7分
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），--------------------------------9分
由y= $\text{[math]}$ x，得y′= $\text{[math]}$ x，即 $\text{[math]}$ ，-------------------------12分
得x₀=12，代入抛物线方程得y₀=18
切点坐标为（12，18）-----------------------15分
分析：（1）抛物线y=ax²（a＞0）的焦点为（0， $\text{[math]}$ ）代入直线y=3x+2可得 a 的值．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），由y= $\text{[math]}$ x，利用导数的几何意义切线的斜率 $\text{[math]}$ ，从而求出切点坐标．
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线y=ax²（a＞0）的焦点为（0， $\text{[math]}$ ）是解题的关键．