Question

6．y=f（x）定义域为R，且对任意x∈R都有f（x+1）=$\frac{f（x）+1}{1-f（x）}$，若f（2）=1-$\sqrt{2}$，则f（2009）=$-\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由已知中对任意x∈R都有f（x+1）=$\frac{f（x）+1}{1-f（x）}$，f（2）=1-$\sqrt{2}$，迭代可得，f（x）的值以4为周期呈周期性变化，进而得到答案．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x+1）=$\frac{f（x）+1}{1-f（x）}$，f（2）=1-$\sqrt{2}$，
∴$f（3）=\frac{f（2）+1}{1-f（2）}$=$\sqrt{2}$-1，
$f（4）=\frac{f（3）+1}{1-f（3）}$=$\sqrt{2}+1$，
$f（5）=\frac{f（4）+1}{1-f（4）}$=$-\sqrt{2}-1$，
$f（6）=\frac{f（5）+1}{1-f（5）}$=$-\sqrt{2}+1$，
$f（7）=\frac{f（6）+1}{1-f（6）}$=$\sqrt{2}$-1，
$f（8）=\frac{f（7）+1}{1-f（7）}$=$\sqrt{2}+1$，
…
故f（x）的值以4为周期呈周期性变化，
由2009÷4=502…1，
故f（2009）=f（1）=f（5）=$-\sqrt{2}-1$，
故答案为：$-\sqrt{2}-1$

点评 本题考查的知识点是函数的值，函数的周期性，其中分析出f（x）的值以4为周期呈周期性变化，是解答的关键．