Question

3．如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD．
求：（1）判断EFGH的形状；
（2）证明直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，HG=$\frac{1}{3}$AC，由此得到四边形EFGH的形状为梯形，
（2）EH和FG为梯形的两腰，从而EH和FG必交于一点，设交点为Q，再推导出Q∈BD，由此能证明EH，FG和BD三线交于点Q．

解答 解：（1）∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵点G，H分别在CD，AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD，
∴△HGD∽△ACD，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{3}$AC，
∴EF∥HG，EF≠HG，
四边形EFGH的形状为梯形，
证明：（2）∵EH和FG为梯形EFGH的两腰，
∴EH和FG必交于一点，设交点为Q，
∵Q∈EH，EH?平面ABD，Q∈FG，FG?平面BCD，
∴Q∈平面ABD，Q∈平面BCD，
∵面ABD∩面BCD=BD，∴Q∈BD，
∴EH，FG和BD三线交于点Q．

点评 本题考查四边形形状的判断，考查三线交于一点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．