Question

16．二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈Z）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称．方程f（x）-x=0的两根为α、β，且0＜α＜2＜β＜4，β-α=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=x³-3x²-6x+m，对?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈Z）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，可得b=-2a；方程f（x）-x=0，即ax²+（b-1）x+c=0，利用方程f（x）-x=0的两根为α、β，且0＜α＜2＜β＜4，β-α=$\sqrt{5}$，结合韦达定理求出a，b，c，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，只需?x∈[-2，2]，都有f（x）_min≥g（x）_max即可．分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最小值，列不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，-$\frac{b}{2a}$-1=0，∴b=-2a，
方程f（x）-x=0，即ax²+（b-1）x+c=0，
设h（x）=ax²+（b-1）x+c，
∵方程f（x）-x=0的两根为α、β，且0＜α＜2＜β＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（0）h（2）＜0}\\{h（2）h（4）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c（c-2）＜0}\\{（c-2）（c+8a-4）＜0}\end{array}\right.$．
∵c∈Z，∴c=1．
∴α+β=-$\frac{b-1}{a}$，αβ=$\frac{c}{a}$，
∴β-α=$\sqrt{5}$，
∴$（\frac{b-1}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}$=5，
b=-2a，c=1，代入a=±1．
a=-1时，不成立，a=1符合，∴b=-2，
∴f（x）=x²-2x+1；
（Ⅱ）对?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，都有f（x₁）≥g（x₂），
∴对?x∈[-2，2]，都有f（x）_min≥g（x）_max，
?x∈[-2，2]，f（x）_min=f（1）=0
g（x）=x³-3x²-6x+m，g′（x）=3x²-6x-6=0，x=1±$\sqrt{3}$
在x∈（-2，1-$\sqrt{3}$），g′（x）＞0，（-2，1-$\sqrt{3}$，2）是g（x）单调递增区间．在x∈（1-$\sqrt{3}$，2），g′（x）＜0，（1-$\sqrt{3}$，2）是g（x）单调递减区间．
∴g（x）的极大值且为最大值g（1-$\sqrt{3}$）=-8+6$\sqrt{3}$+m
∴-8+6$\sqrt{3}$+m≤0，解得m的范围为m≤8-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查导数在函数应用中，求函数的解析式，求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题是关键．