Question

20．已知函数f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，g（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1），对任意的x₂∈[1，2]，总有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数m的取值范围为[8-5ln2，+∞）．

Answer 1

分析 对g（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有f（x₁）≥g（x₂）成立，只要f（x）_max≥g（x）_max，即可，从而求出m的范围．

解答 解：f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
g（x）=x²-mx+4=（x-$\frac{m}{2}$）²+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴要求f（x）的最大值大于g（x）的最大值即可，
f′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，
解得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$），x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（$\frac{1}{2}$，2）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∵x₁∈（0，1），
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$时取得极大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵g（x）=x²-mx+4=（x-$\frac{m}{2}$）²+4-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
若m≤3，g（x）_max=g（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，则m≥$\frac{11-5ln2}{2}$，
∵$\frac{11-5ln2}{2}$＞3，故m不存在；
若m＞3时，g（x）_max=g（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，则m≥8-5ln2，
∴实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．
故答案为：[8-5ln2，+∞）．

点评 本题考查函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属中档题