Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定函数y=f（x）的解析式，利用点均在函数y=f（x）的图象上，求出S_n，进而可求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）先确定{nb_n}的通项，利用错位相减法可求前n项和．
解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，
∴f（x）=-x²+7x
∵点均在函数y=f（x）的图象上
∴
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∵
∴n=3或4时，S_n的最大值为12；
（2）b_n==2^-n+4，∴nb_n=n•2^-n+4=16n•
∴{nb_n}的前n项和为S_n=16（1•+2•+…+n•）
∴S_n=16[1•+…+（n-1）•+n•]
∴两式相减可得S_n=16（++…+-n•）=16（1--n•）
∴S_n=32（1--n•）
点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与最值，考查数列的求和，正确求出数列的通项是关键．