Question

（2012•山西模拟）已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，求实数a的值；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（3）若a＜0，对任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，恒有|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立等式关系即可求出a的值；
（2）先若f（x）的值域为[0，+∞），转化为恒成立问题，再讨论a的符号使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分离法将a分离出来，从而求出a的范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2．
（2）f'（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述，若f（x）的值域为[0，+∞），则a=1；
（3）由（2）可知，
当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
因为h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，所以x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-

4

x

在（0，1]是增函数，所以y=x-

4

x

的最大值为-3
所以a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题．