Question

（2012•邯郸模拟）设(x-

1

3 x

)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为

-4

．

Answer 1

分析：根据题意，在(x-

1

3 x

)n中令x=1可得M，由二项式系数的性质可得N，又由题意M+N=16可得2ⁿ=16，解可得n的值，再根据二项式定理可得（x-

1

3 x

）⁴的展开式的通项，令x的系数为0可得r的值，将r的值代入可得通项可得其常数项，即可得答案．

解答：解：根据题意，(x-

1

3 x

)n的展开式的各项系数之和为M，
在(x-

1

3 x

)n中令x=1可得，M=（1-1）ⁿ=0
该展开式的二项式系数之和为N，则N=2ⁿ，
又由题意，M+N=16，则有2ⁿ=16，解可得n=4，
则（x-

1

3 x

）⁴的展开式的通项为T_r+1=C₄^r（x）^4-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₄^r•x

12-4r

3

，
令

12-4r

3

=0，可得r=3，
此时展开式中的常数项T₄=（-1）³•C₄³=-4；
故答案为-4．

点评：本题考查二项式定理的应用，要注意展开式中“各项系数之和”与“二项式系数之和”的不同．