题目内容
已知函数f(x)=lgx2
(1)证明该函数的奇偶性;
(2)用定义证明该函数在区间(0,+∞)上的单调性.
(1)证明该函数的奇偶性;
(2)用定义证明该函数在区间(0,+∞)上的单调性.
分析:(1)根据函数奇偶性的定义进行判断.
(2)利用函数单调性定义进行证明.
(2)利用函数单调性定义进行证明.
解答:解:(1)因为函数的定义域为{x|x≠0},所以f(-x)=lg?(-x)2=lg?x2=f(x),所以函数为偶函数.
(2)当x>0时,f(x)=lgx2=2lgx,
设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2lg?x1-2lg?x2=2(lg?x1-lg?x2),
因为函数y=lgx为增函数,所以lg?x1<lg?x2,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即函数在区间(0,+∞)上的单调递增.
(2)当x>0时,f(x)=lgx2=2lgx,
设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2lg?x1-2lg?x2=2(lg?x1-lg?x2),
因为函数y=lgx为增函数,所以lg?x1<lg?x2,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即函数在区间(0,+∞)上的单调递增.
点评:本题主要函数奇偶性和单调性判断,利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键.
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