Question

已知函数f（x）=x²-2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m-f（x）＞0成立，则m的取值范围为（　　）

A．（5，+∞）

B．（13，+∞）

C．（4，+∞）

D．（-∞，13）

Answer 1

分析：存在实数x∈[2，4]，使m-f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）_min．利用配方法求二次函数的最小值，即可得结论．

解答：解：存在实数x∈[2，4]，使m-f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）_min．
∵函数f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1
∵x∈[2，4]，
∴x=2时，f（x）_min=f（2）=2²-2×2+5=5
∴m＞5
故选A．

点评：本题考查的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使m-f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）_min．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使m-f（x）＞0成立问题相混淆．