Question

（本小题满分12分）数列｛a_n｝满足a₁=1,a_n=a_n-1+1　 (n≥２)

⑴　写出数列｛a_n｝的前５项；

⑵　求数列｛a_n｝的通项公式。

 

Answer 1

【答案】

⑴ a₁=1 ,a₂=⑵ a_n=2。

【解析】本试题主要是考查了数列递推关系求解数列的通项公式和前n项和。

（1）对于n令值，得到数列的前几项的值。

（2）根据前几项，归纳猜想，得到数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明。

解 ⑴ a₁=1 ,a₂=

（ 猜想   ｛a_n-2｝是等比数列 ）………4分

⑵ 解法一 由a_n=a_n-1+1　 (n≥２)  得a_n－2=(a_n-1－2)  ………7分

令 b_n= a_n－2  则b_n=b_n-1

又b₁=a₁－2=-1  故｛b_n｝是等比数列，首项－1，公比为，………9分

 b_n=  ………11分

于是 a_n=2………12分

解法二 设 a_n+k=h(a_n-1+k)其中k、h为待定系数。

将a_n=ha_n-1+kh-k  与  a_n=a_n-1+1  比较得  h= , k=－2

故a_n－2=(a_n-1－2)   (n≥２)       而  a₁－2=－1

数列｛a_n－2｝是以 为公比，－1首项的等比数列。

a_n－2=，   a_n=2。