Question

（2013•昌平区一模）已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）-f′（x）的零点所在的区间是（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g（x）中，对函数g（x）求导可知函数g（x）是单调函数，且g（1）＜0，g（2）＞0，则函数g（x）的零点所在的区间可求．

解答：解：由f（x）=lnx，则f′(x)=

1

x

，
则g（x）=f（x）-f′（x）=lnx-

1

x

．
函数g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=

1

x

+

1

x2

＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
而g（1）=ln1-1=-1＜0，g（2）=ln2-

1

2

=ln2-ln

e

＞0．
所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．
故选B．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数零点的存在性定理，在区间（a，b）上，如果函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上一定存在零点，此题是基础题．