Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{x+2}$，
（1）试用定义证明f（x）在（-2，+∞）上为减函数．
（2）求函数f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）由（1）可得f（x）在[2，6]上递减，即可得到最值．

解答 解：（1）证明：设-2＜m＜n，
则f（m）-f（n）=$\frac{1}{2+m}$-$\frac{1}{2+n}$
=$\frac{n-m}{（2+m）（2+n）}$，
由-2＜m＜n，可得2+m＞0，2+n＞0，m-n＜0，
即有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则f（x）在在（-2，+∞）上为减函数；
（2）由（1）可得f（x）在[2，6]上递减，
即有x=2处取得最大值，且为$\frac{1}{4}$；
在x=6处取得最小值，且为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．