题目内容

已知函数 $数学公式$ R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若 $数学公式$ ，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

解：（1）①x≥0时，∵ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时等号成立；
②x＜0，∵ $\text{[math]}$ ，
由①②知函数f（x）的值域为 $\text{[math]}$ ．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0时，∵ $\text{[math]}$ ，
令t=a^x，则 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时等号成立，
（i） $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，结合①知 $\text{[math]}$ 与a无关；
（ii） $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，∴h（t）在 $\text{[math]}$ 上是增函数， $\text{[math]}$ ，
结合①知 $\text{[math]}$ 与a有关；
综上，若g（x）的最小值与a无关，则实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
（3）① $\text{[math]}$ 时，关于x的方程f（x）=m的解集为 $\text{[math]}$ ；
②m＞3时，关于x的方程f（x）=m的解集为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）表达式形式上提醒我们可以尝试基本不等式求解，则需要对自变量x的绝对值符号进行讨论分析．不过要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用条件．
（2）本题需要通过f（x）求出g（x）表达式，观察表达式可知，解决本题的关键是对函数解析式中绝对值符合的处理，要去掉绝对值符号可以根据定义分类讨论．
（3）需要对变量m分以下两种情况讨论： $\text{[math]}$
点评：（1）去绝对值符号的两种常用方法：
①绝对值定义法：|x|= $\text{[math]}$
②要去绝对值式子两端同时平方．
（2）使用均值不等式的条件：
①一正（a，b都是正数）；
②二定（若求a+b则ab是定值，若求ab则a+b是定值）；
③三等．（当且仅当a=b时不等式取“=”）．