Question

17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=[f（x-$\frac{π}{12}$）]²，求函数g（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值，并确定此时x的值．

Answer 1

分析 （1）结合具体的图象进行确定其解析式；
（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．

解答 解：（1）结合图象，得
A=2，
$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{3}$，
∴T=$\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，
∴ω=$\frac{3}{2}$，
∴y=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ），
将点（-$\frac{π}{6}$，0）代入，得
2sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
（2）结合（1）f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=[f（x-$\frac{π}{12}$）]²，
={2sin[$\frac{3}{2}$（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{4}$]}²，
=4sin²（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$）
=4×$\frac{1}{2}$[1-cos（3x+$\frac{π}{4}$）]
=2-2cos（3x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=2-2cos（3x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴3x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，
∴3x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴cos（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴cos（3x+$\frac{π}{4}$）=-1时，函数取得最大值，
此时，x=$\frac{π}{4}$，
最大值为4．

点评 本题重点考查了二倍角公式、三角函数的 图象与性质等知识，属于中档题．