题目内容

【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°AC=AB=AA1EBC的中点.

1)求证:AEB1C

2)求异面直线AEA1C所成的角的大小;

3)若GC1C中点,求二面角C-AG-E的正切值.

【答案】(1)见解析;(2);(3)

【解析】

(1)由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1,由AC=AB,E是BC的中点,及等腰三角形三线合一,可得AE⊥BC,结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C,进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C;

(2)取B1C1的中点E1,连A1E1,E1C,根据异面直线夹角定义可得,∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角,设AC=AB=AA1=2,解三角形E1A1C可得答案.

(3)连接AG,设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC,由直三棱锥的侧面与底面垂直,结合面面垂直的性质定理,可得EP⊥平面ACC1A1,进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.

证明:(1)因为BB1⊥面ABCAEABC,所以AEBB1

AB=ACEBC的中点得到AEBC

BCBB1=BAE⊥面BB1C1C

AEB1C

解:(2)取B1C1的中点E1,连A1E1E1C

AEA1E1

∴∠E1A1C是异面直线AEA1C所成的角.

AC=AB=AA1=2,则由∠BAC=90°,

可得A1E1=AE=A1C=2E1C1=EC=BC=

E1C==

∵在△E1A1C中,cos∠E1A1C==

所以异面直线AEA1C所成的角为

(3)连接AG,设PAC的中点,过点PPQAGQ,连EPEQ,则EPAC

又∵平面ABC⊥平面ACC1A1

EP⊥平面ACC1A1

PQAGEQAG

∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.

EP=1,AP=1,PQ=,得tan∠PQE==

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是

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