Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
（2）若PA=

2

，且E为BC中点时，求点C到面PDE的距离；
（3）设PA=1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的大小为

π

4

．试确定点E的位置．

Answer 1

分析：（1）当E为BC的中点时，通过证明DE⊥AE，PA⊥DE，证明DE⊥平面PAE，即可证明PE⊥DE；
（2）连接AC，知C到面PDE的距离为点A到面PDE距离的一半．说明AF的长为点A到面PDE的距离．然后求解C到面PDE的距离；
（3）如图过A作AQ⊥DE于Q，连AE，AQ，说明∠PQA为二面角P-ED-A的平面角．设CE=x，求出x，即可推出点E在线段BC上距C点的

3

处．使得二面角P-ED-A的大小为

π

4

．

解答：（1）证明：当E为BC中点时，EC=CD=1，从而△DCE为等腰直角三角形，
则∠DEC=45°，同理可得∠AEB=45°，∴∠AED=90°，于是DE⊥AE，
又PA⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAE，又PE?平面PAE，∴DE⊥PE．…（4分）
（2）解：连接AC，知C到面PDE的距离为点A到面PDE距离的一半．
由（1）知面PAE⊥面PDE，过A做AF⊥PE交于F，则AF⊥面PDE，AF的长为点A到面PDE的距离．由PA=AE=

2

可得AF=1，
故C到面PDE的距离为

1

2

；…（8分）
（3）解：如图过A作AQ⊥DE于Q，连AE，AQ，则PQ⊥DE，∴∠PQA为二面角P-ED-A的平面角．
设CE=x，则DE=

1+x2

．
在Rt△PAQ中，∵∠PQA=

π

4

，∴AQ=PA=1．
在△ADE中，由面积公式可得

x2+1

=2，解得x=

3

，
故点E在线段BC上距C点的

3

处．…（12分）

点评：本题是中档题，考查直线与直线的垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力，计算能力．