题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为2的圆位于轴右侧,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)在圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,点的坐标是与,对应面积的最大值为
【解析】
(1) 设圆心是,根据直线与圆相切的性质结合点到直线距离公式可以求出的值,也就可以写出圆的方程;
(2) 根据点在圆上,可以求出的取值范围,根据点到直线距离公式可以求出原点到直线的距离,利用垂径定理可以求出,最后求出的面积的表达式,最后利用配方法求出的面积最大.
解(1)设圆心是.
解得圆的方程为;
(2)点在圆,
.
又原点到直线的距离解得
.
.
当,即时取得最大值.
此时点的坐标是与,面积的最大值为.
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