Question

如图所示，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，A₁B⊥AC₁.求证:A₁B⊥B₁C.

Answer 1

证法一:取A₁B₁中点M，AB中点N，连结AM、B₁N、CN、C₁M.

∵A₁C₁=B₁C₁,C₁M⊥A₁B₁,

又∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,

∴C₁M⊥面AA₁B₁B.

同理可证CN⊥面AA₁B₁B.

故MA是C₁A在面AA₁B₁B内的射影.

又A₁B⊥AC₁,∴AM⊥A₁B.

又∵AM∥B₁N,∴A₁B⊥B₁N.

而B₁N是B₁C在面AA₁BB₁内的射影，∴A₁B⊥B₁C.

证法二:如图，把直三棱柱补成一个直四棱柱ADBC—A₁D₁B₁C₁,连结AD₁、D₁C₁.

∵A₁C₁=B₁C₁,∴A₁D₁B₁C₁为菱形.故A₁B₁⊥D₁C₁.

又ADBC—A₁D₁B₁C₁是直四棱柱,

∴A₁B₁为A₁B在底面A₁D₁B₁C₁内的射影.

故A₁B⊥D₁C₁.

又∵A₁B⊥AC₁,∴A₁B⊥平面D₁C₁A,

故A₁B⊥D₁A.

∵D₁A∥B₁C,∴A₁B⊥B₁C.

证法三:取A₁B₁中点M，AB中点N，连结AM、B₁N、CN、C₁M.同证法一.

易证平面AMC₁∥平面NB₁C，

易知C₁M⊥面A₁B₁BA,故C₁M⊥A₁B.

又A₁B⊥AC₁,故A₁B⊥面AMC₁,

且平面AMC₁∥平面NB₁C，

∴A₁B⊥平面NB₁C.∴A₁B⊥B₁C.