题目内容
18．在（2x-3y）10的展开式中，求：（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
分析 设（2x-3y）10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 （*）
各项系数和为a0+a1+…+a10，奇数项系数和为a0+a2+…+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9，x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9，x的偶次项系数和a0+a2+a4+…+a10．
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
解答 解：设（2x-3y）10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 （*）
各项系数和为a0+a1+…+a10，奇数项系数和为a0+a2+…+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9，
x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9，x的偶次项系数和a0+a2+a4+…+a10．
（1）二项式系数和为${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{1}$+…+${C}_{10}^{10}$=210．
（2）令x=y=1，各项系数和为（2-3）10=（-1）10=1．
（3）奇数项的二项式系数和为${C}_{10}^{0}$+${C}_{10}^{2}$+…+${C}_{10}^{10}$=29，
偶数项的二项式系数和为${C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{3}$+…+${C}_{10}^{9}$=29．
（4）设（2x-3y）10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10
令x=y=1，得到a0+a1+a2+…+a10=1 ①
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510 ②
①+②得2（a0+a2+…+a10）=1+510，
∴奇数项的系数和为$\frac{1+{5}^{10}}{2}$；
①-②得2（a1+a3+…+a9）=1-510，
∴偶数项的系数和为$\frac{1-{5}^{10}}{2}$．
（5）x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=$\frac{1-{5}^{10}}{2}$；
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=$\frac{1+{5}^{10}}{2}$．
点评 本题考查二项式系数的性质，考查了利用特值法求二项展开式中项的系数，是中档题．
