Question

（2009•成都模拟）在等差数列{a_n}中，已知a₄=-3，且a₁-2、a₃、a₅成等比数列，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的公差d；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得a₁=-3-3d，a₃=-3-d，a₅=-3+d，（-3-3d）²=（-3-3d-2 ）（-3+3d ），解方程求得d的值．
（Ⅱ）根据d的值求出数列的通项公式，由数列的通项公式判断数列的单调性，从而求出它的最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得 a₁=-3-3d，a₃=-3-d，a₅=-3+d．
∵a32=（a₁-2 ）a₅ ，
∴（-3-d）²=（-3-3d-2 ）（-3+3d ）．
解得 d=1，或d=-

3

2

．
（Ⅱ）①当d=1 时，a_n=-3+（n-4）d=n-7，故此数列为递增数列．
令 a_n=0 可得 n=7，故当n=6 或n=7时，S_n 取得最小值为-21，且S_n 不存在最大值．
②当 d=-

3

2

时，a_n=-3+（n-4）（-

3

2

）=-

3

2

 n+3，故此数列为递减数列．
令a_n=0 可得 n=2，故当n=1 或n=2时，S_n 取得最大值为

3

2

，且S_n 不存在最小值．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，以及数列的函数特性，属于中档题．