题目内容
（2009•成都模拟）设双曲线
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=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N，若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF2| =
，|F1F2|=2c，根据△MNF1为正三角形，|NF1|2 =
+4c2=|MN|2=
，由此可以求出该双曲线的离心率．
| b2 |
| a |
| b4 |
| a2 |
| 4b4 |
| a2 |
解答：解：由题意可知，M，N关于x轴对称，
∴|NF2| =
，
∵|F1F2|=2c，
∴|NF1|2 =
+4c2=|MN|2=
，
∴
+4c2=
∴4c2=
∴4a2c2=3b4
∴4a2c2═3（a2-c2）2，
∴3e4-10e2+3=0，
解得e=
或e=
∵e＞1
∴e=
故选C．
∴|NF2| =
| b2 |
| a |
∵|F1F2|=2c，
∴|NF1|2 =
| b4 |
| a2 |
| 4b4 |
| a2 |
∴
| b4 |
| a2 |
| 4b4 |
| a2 |
∴4c2=
| 3b4 |
| a2 |
∴4a2c2=3b4
∴4a2c2═3（a2-c2）2，
∴3e4-10e2+3=0，
解得e=
| 3 |
| ||
| 3 |
∵e＞1
∴e=
| 3 |
故选C．
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的离心率，关键是找出几何量之间的关系，解题时要注意双曲线的离心率要大于1．
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