题目内容
4.在边长为a的正方形ABCD中截去一个三角形AEF,点E在AD上.点F在AB上,其中AE=$\frac{a}{6}$,AF=$\frac{a}{3}$,在余下的五边形EFBCD中,要截一个有最大面积的矩形MNGC,其中点M在CD上,点N在EF上,点G在BC上,应该怎样截法?此时最大面积是多少?分析 由已知得所截矩形样式只有一种,其各边分别与正方开形平行,设矩形一边MN为x($\frac{5a}{6}≤x≤a$),得到矩形MNGC的面积S=MN×NG=x($\frac{8a}{3}$-2x),由此能求出当N,E两点重合时,面积最大,并能求出最大面积.
解答 解:由已知得所截矩形样式只有一种,其各边分别与正方开形平行,
设矩形一边MN为x($\frac{5a}{6}≤x≤a$),
与NG边的关系为:2(x-$\frac{5a}{6}$)=(a-NG),
∴NG=a-2x+$\frac{5a}{3}$=$\frac{8a}{3}$-2x,
矩形MNGC的面积S=MN×NG=x($\frac{8a}{3}$-2x)=$\frac{8a}{3}$x-2x2=-2(x-$\frac{2a}{3}$)2+$\frac{8{a}^{2}}{9}$,
∴当x=$\frac{2a}{3}$时,面积有极值,但此取值不在限制范围内,
离此最近的点是x=$\frac{5a}{6}$,即N点与E点重合.
∴当N,E两点重合时,面积最大,最大面积为Smax=-2($\frac{5a}{6}$-$\frac{2a}{3}$)2+$\frac{8{a}^{2}}{9}$=$\frac{17{a}^{2}}{18}$.
点评 本题考查矩形最大面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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