Question

8．已知函数y=4^x-2^x+1+2，x∈[-1，2]．
（1）设t=2^x，求t的取值范围；
（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，结合指数函数的性质即可求出t的范围．
（2）结合一元二次函数的性质进行求解．

解答 解：（1）y=4^x-2^x+1+2=（2^x）²-2•2^x+2=（2^x-1）²+1，
设t=2^x，
∵-1≤x≤2，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤4，即$\frac{1}{2}$≤t≤4．
（2）函数等价为y=f（t）=（t-1）²+1，
∴当t=4时，函数取得最大值f（4）=3²+1=9+1=10，
当t=1时，函数取得最小值f（1）=1．

点评 本题主要考查函数的最值，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．