Question

观察
（1）tan5°tan15°+tan5°tan70°+tan15°tan70°=1
（2）tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=1
（3）tan20°tan30°+tan20°tan40°+tan30°tan40°=1
由以上三式成立，推广到一般结论，写出一般结论，并证明．

Answer 1

分析：由题意得，式子中共有三个角，最大角与最小角的和与另一个角互余，结论是：其中任意两个角的正切值之积相加得到的和为1．利用互余的两个角的正切值等于1，两角和的正切公式
的变形公式证明等式成立．

解答：解：设 0°＜α＜β＜γ＜90°，且α+β+γ=90°，则由题中所给的三个式子可得 tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1．
证明：∵α+β=90°-γ，∴tan（α+β）•tanγ=1．
∴tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=tanα•tanβ+（tanα+tanβ）•tanγ=tanα•tanβ+tan（α+β）（1-tanαtanβ）tanγ
=tanα•tanβ+（1-tanαtanβ）=1，
故tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1 成立．

点评：本题主要考查归纳推理，分析出式子中三个角的关系，是解答本题的关键，以及互余的两个角的正切值等于1，两角和的正切公式的变形应用，属于基础题．