题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和Sn ， 且an= 
（n∈N*）． （Ⅰ）若数列{an+t}是等比数列，求t的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记bn= 
+ 
，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，由a1= 
（n∈N*），得a1=1．
当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣n﹣2an﹣1+（n﹣1），
即an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．
依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，
当t=1时，an+1=2（an﹣1+1），n≥2，
即数列{an+1}是等比数列，故实数t的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，an+1=2（an﹣1+1），
又因为a1+1=2，
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以 
，
∴a 
（n∈N+）．
（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= 
+ 
= 
= 
，
则Tn= 
=1﹣ 
【解析】（Ⅰ）易得an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1， （Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，an+1=2（an﹣1+1），即数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得 
，即可求通项．（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= 
+ 
= 
= 
，累加即可求和．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：
；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
即可以解答此题．
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