Question

12、如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析：先说明A，B，C，D四点共面，再根据平面ABB₁A₁与平面CDD₁C₁平行的性质定理可知平面ABCD与平面ABB₁A₁的交线AB，与平面CDD₁C₁的交线是CD，AB∥CD，AD∥BC，从而问题得证．

解答：证明：∵A，B，C，D四点在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB₁A₁，平面CDD₁C₁的交线．
∴AB∥CD．同理AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：本小题主要考查平面与平面平行的性质，以及平面的基本性质及推论，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．