题目内容
设函数f（x）=x+
（p＞0）．
（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．
| p | x |
（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．
分析：（1）由p=4知，f（x）=x+
在（0 2）内是减函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．
（2）任意设 0＜x1＜x2＜2，则由题意可得可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
＞0．从而求得p的范围．
（3）由（2）可知f（x）=x+
在（0，2）上单调递减，可得f（x）＞2+4=6，故有3a-264＞6，由此解得a的范围．
| 4 |
| x |
（2）任意设 0＜x1＜x2＜2，则由题意可得可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
| p-x1•x2 |
| x1•x2 |
（3）由（2）可知f（x）=x+
| 8 |
| x |
解答：解：（1）由p=4知，f（x）=x+
，f（x）在（0 2）内是减函数．
证明：任意设 0＜x1＜x2＜2，
由于f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=-（x2-x1）+
=（x2-x1）（
-1）=（x2-x1）•
．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴
＞0，
故f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x1＜x2＜2，
则可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
＞0．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+
，
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+
=6，即 f（x）＞6．
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．
| 4 |
| x |
证明：任意设 0＜x1＜x2＜2，
由于f（x1）-f（x2）=（x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4(x2-x1) |
| x1•x2 |
=（x2-x1）（
| 4 |
| x1•x2 |
| 4-x1•x2 |
| x1•x2 |
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴
| 4-x1•x2 |
| x1•x2 |
故f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x1＜x2＜2，
则可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
| p-x1•x2 |
| x1•x2 |
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+
| 8 |
| x |
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+
| 8 |
| 2 |
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求参数的范围，属于中档题．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
| ||||||||
D、[-
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