Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S。

（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

（2）求面积S的最大值。

Answer 1

（1）S=2（x+r）·，其定义域为{x|0＜x＜r}

（2）

解析:

（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O－xy（如图），则点C的横坐标为x。

点C的纵坐标y满足方程+=1（y≥0），解得y=2（0＜x＜r）

S=·2=2（x+r）·，其定义域为{x|0＜x＜r}

（2）记f(x)=4(x+r) ²(r²－x²)，0＜x＜r，

则f’(x)=8(x+r)²(r－2x)    

令f’(x)=0，得x=

因为当0＜x＜时，f’(x)＞0；

当＜x＜r时，f’(x)＜0，所以f()是f(x)的最大值

因此，当x=时，S也取得最大值，最大值为=

即梯形面积S的最大值为