Question

（1）设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤x≤2的实数x的取值都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）构造函数f（m）=-（x²-1）m+2x-1，原不等式等价于f（m）＞0对于m∈[-2，2]恒成立，从而只需要 即可，进而解不等式即可．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），原问题转化为：使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．对m的值进行分类讨论：当m=0时，不满足题意；当m≠0时，f（x）只需满足，解之得结果为空集，从而得出结论．
解答：解：（1）令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切
实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．
所以，，即，即
所以，．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x²-1）成立．
当m=0时，f（x）=2x-1在时，f（x）≥0．（不满足题意）
当m≠0时，f（x）只需满足下式：

或
或或
解之得结果为空集．
故没有m满足题意．
点评：本题以不等式为载体，恒成立问题，关键是构造函数，变换主元，考查解不等式的能力．属于中档题．