题目内容

求曲线C：xy=1在矩阵A=
2
2
2
2
-
2
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2
对应的变换下得到的曲线C′的方程．
分析：设P（x0，y0）为曲线xy=1上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点P'（x'0，y'0），根据法则
.
ab
cd
.
.
ef
gh
.
=
.
ae+bgaf+bh
ce+dgcf+dh
.
计算A
x0
y0
=
x′0
y′0
得到P与P′横纵坐标之间的关系，分别用x'0和y'0表示出x0和y0，代入曲线方程即可得到变换后曲线的方程．
解答：解：设P（x0，y0）为曲线xy=1上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点P'（x'0，y'0），
则有
x′0
y′0
=
2
2
2
2
-
2
2
2
2
x0
y0
，即
x′0=
2
2
(x0+y0)
y′0=
2
2
(y0-x0)
，所以
x0=
2
2
(x′0-y′0)
y0=
2
2
(x′0+y′0)

又因为点P在曲线xy=1上，所以x0y0=1，
故有x'02-y'02=2，即所得曲线方程：x2-y2=2．
点评：考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，会求曲线关于矩阵变换后的曲线方程．
练习册系列答案
相关题目
过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an．
（1）求a1的值．
（2）求证数列{an}是等比数列．
（3）设bn=
16an+1316an-3
，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|bM-bN|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy=1在矩阵
.
cosθsinθ
-sinθcosθ
.
（0≤θ＜
π
2
）对应的变换作用下得到曲线F，且曲线F的方程为x2-y2=a2（a＞0），求θ和a的值．
[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵
2
2
-
2
2
2
2
2
2
对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1：
x=3cosθ
y=2sinθ
（θ为参数）和曲线C2：ρsin（θ-
π
4
）=
2
．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜
c
4
，|y-b|＜
c
6
，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．
[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρsin（θ-）=．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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