题目内容
【题目】已知两定点,
,曲线
上的动点
满足
,直线
与曲线
的另一个交点为
.
(Ⅰ)求曲线的标准方程;
(Ⅱ)设点,若
,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8>4,所以曲线C是以F1,F2为焦点,长轴长为8的椭圆.由此可知曲线C的方程;(Ⅱ)设M(xM,yM),P(xP,yP),直线MN方程为y=k(x+4),其中k≠0.由得(3+4k2)y2-24ky=0,由此利用韦达定理、椭圆性质,结合已知条件
,所以
,则
,转化为坐标关系求出点
坐标代入椭圆即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵,
,
∴,
∵,
∴曲线是以
,
为焦点,长轴长为
的椭圆.
曲线的方程为
.
(Ⅱ)由题意知直线不垂直于
轴,也不与
轴重合或平行.
设,
,直线
方程为
,其中
.
由,得
.
解得或
.
依题意,
.
因为,
所以,则
.
于是,所以
,
因为点在椭圆上,所以
.
整理得,
解得或
(舍去),
从而.
所以直线的方程为
.
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