题目内容

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M $数学公式$ ，O为坐标原点，若实数λ使向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 和 $数学公式$ 满足： $数学公式$ ，设点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程，并判断W是怎样的曲线；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 时，过点A₁且斜率为1的直线与W相交的另一个交点为B，能否在直线x=-9上找到一点C，恰使△A₁BC为正三角形？请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知 $\text{[math]}$ 得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1）…（2分）
①λ²＞1，方程为 $\text{[math]}$ ，焦点在x轴上的双曲线
②λ²=0，圆心在原点，半径为3的圆
③0＜λ²＜1， $\text{[math]}$ ，焦点在x轴上的椭圆
④λ²=1，直线 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） $\text{[math]}$
设直线A₁B方程为y=x+3，由 $\text{[math]}$ 可得5x²+18x+9=0…（10分）
∴A₁（-3，0），B（- $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ ，
在直线x=-9上，离A₁（-3，0），最短距离为6，
∴|A₁C|＞ $\text{[math]}$ ，故无法形成正三角形
∴在直线x=-9上不存在点C，恰使△A₁BC为正三角形 …（12分）
分析：（Ⅰ）由已知 $\text{[math]}$ 得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1），对λ²分类讨论，即可得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可得5x²+18x+9=0，求得 $\text{[math]}$ ，|A₁C|＞ $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．