Question

函数f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（1）当a=-1时，求函数的极值
（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（3）（理科做，文科不用做）
若a=3时，f（x）=x³+3x²+x+2的导函数f^′（x）是二次函数，f^′（x）的图象关于轴对称．你认为三次函数f（x）=x³+3x²+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，得f（x）=x³-x²+x+2，求出f′（x），根据函数单调性可求极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，等价于f′（x）≥0恒成立，由此可解；
（3）先猜测f（x）=x³+3x²+x+2的图象具备中心对称，再根据中心对称的定义进行证明即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x³-x²+x+2，f′（x）=3x²-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函数，所以f（x）不存在极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，则△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以实数a的取值范围是[-

3

，

3

]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，则△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以实数a的取值范围是[-

3

，

3

]．
（3）f（x）=x³+3x²+x+2的图象具备中心对称．
证明：f′（x）=3x²+6x+1的对称轴x=-1，现证f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．
设M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，且M（x，y）关于C（-1，3）对称的点为N（x₀，y₀），
则

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =3

，得

x0=-2-x y0=6-y

，
因为f(x0)=x03+3x02+x0+2=（-2-x）³+3（-2-x）²+（-2-x）+2=-（x³+3x²+x+2）+6=-y+6=y₀，
故M关于点C（-1，3）对称的点N（x₀，y₀）也在函数y=f（x）的图象上，
所以f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．

点评：本题主要考查导数的应用及函数的对称性问题，（3）问为存在性问题．