Question

已知函数f(x)=

a•3x+a-2

3x+1

．（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后利用奇函数的性质，可知f（0）=0可求a，即可
（2）先设x₁＜x₂，然后判断f（x₁）-f（x₂）的正负，从而可判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明
（3）由已知可得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3），结合f（x）为奇函数及f（x）在R上是增函数可得3m²-m+1＜3-2m，解不等式即可求解

解答：解：（1）∵3^x＞0
3^x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得

2a-2

3x+1

=0解得a=1…（2分），
∴f(x)=

3x-1

3x+1

f(-x)=

3-x-1

3-x+1

=

1 3x -1

1 3x +1

=

1-3x

3x+1

=-

3x-1

3x+1

=-f(x)
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f(x)=a-

2

3x+1

f（x₁）-f（x₂）=a-

2

3x1+1

-(a-

2

3x2+1

)
=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1+1)-2(3x2+1)

(3x1+1)(3x2+1)

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

…（7分）
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2
∴3x1-3x2＜0
又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0
f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）
（3）解：由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）
∵函数f（x）为奇函数
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）?3m²-m+1＜3-2m
∴3m²+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜

2

3

．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜

2

3

}．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的定义在证明函数的单调性的应用，抽象函数的单调性在求解不等式中的应用，属于函数知识的综合应用．