Question

已知函数y=x³+3x²+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂的定值为y₀，则y₀的值为

2

．

Answer 1

分析：先根据题意判断出MN两点关于P点对称，求得函数导函数和二阶导函数，根据三次函数的对称中心的二阶导数为0，进而求得点P的坐标，则y₁+y₂的值可求得．

解答：解：∵P为定点，y₁+y₂为定值，
∴MN两点关于P点对称
y′=3x²+6x+1，y〃=6x+6
三次函数的对称中心的二阶导数为0
y〃=6x+6=0
∴x=-1
故P点为（-1，1）
∴y₁+y₂=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了导函数的几何意义．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．