Question

已知函数y=x³-8x+2，
（1）求函数在区间[2，3]上的值域；
（2）过原点作曲线的切线l：y=kx，求切线方程．

Answer 1

分析：（1）求导函数可得函数在区间[2，3]上单调增，从而可求函数在区间[2，3]上的值域；
（2）设切点坐标为（a，b），可得切线方程为y-b=（3a²-8）（x-a），利用切线过原点，切点在曲线上，即可求得结论．

解答：解：（1）求导函数可得y′=3x²-8
∵x∈[2，3]，∴y′=3x²-8＞0
∴函数在区间[2，3]上单调增
∵x=2时，y=-6；x=3时，y=5
∴函数在区间[2，3]上的值域为[-6，5]；
（2）设切点坐标为（a，b），则 x=a时，y′=3a²-8
∴切线方程为y-b=（3a²-8）（x-a）
∵切线过原点，∴-b=-a（3a²-8）
又b=a³-8a+2，∴a（3a²-8）=a³-8a+2，∴a³=1
∴a=1，∴b=-5
∴切线方程为y=-5x．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，设切点求切线斜率是关键．