题目内容
【题目】我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”，其中
。如图1，点
是相应椭圆的焦点，
和
分别是“果圆”与
轴的交点，且
是边长为2的等边三角形。
（1）求“果圆”的方程。
（2）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，试研究：是否存在实数
，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由。
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）因为
，
所以
于是
，所求“果圆”方程为
（2）记平行弦的斜率为
.
当
时，直线
与半椭圆
的交点是
，与半椭圆
的交点是
.
所以，
的中点
满足
得
.
所以当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当
时，以为斜率过
的直线
与半椭圆
的交点是
， 所以线段
中点的坐标为
.
由此，在直线右侧，以
为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上
当
时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
综上，当且仅当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
应用题作业本系列答案
【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中
的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（
）与数学成绩相应分数段的人数（
）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） |
| 1：1 | 2：1 | 3：4 | 4：5 |
【题目】为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查. 得到如下的统计结果.
表1：男生上网时间与频数分布表：
上网时间（分钟） |
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人数 | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
表2：女生上网时间与频数分布表：
上网时间（分钟） |
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人数 | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
附：
，其中
